Günlerdir internette farklı kaynaklarda “Bu resimde kaç kare var?” sorusunu görmekteyim. Herkes farklı cevaplar vermiÅŸ, soru üzerinde tartışmalar almış başını gitmiÅŸ. Åžimdi bütün bu gürüzgahın içinden çıkıp soruyu cevaplayalım istedim. Bütün düzgün iç içe olan “kaç kare var?” sorularının cevabını sizlerle paylaÅŸacağım. Oturup her soru için teker teker kareleri sayma, acaba göremediÄŸim baÅŸka kare var mıydı diye kafa patlatma deviri bu yöntemle sona erecek. 4x4lük kare için oturup saydınız diyelim. Peki soru satranç tahtası olsaydı da sayacak mıydık? 🙂 Bunun için matematiÄŸin inceliklerinden faydalanmak en mantıklısı…

Matematik, problem çözme sanatıdır. Benzer tarzdaki sorular için geliştirilen çözüm yöntemleri vardır. Bu yöntemleri formül, fonksiyon veya metod olarak adlandırabiliriz. Biz de bu tip sorular için kendi yöntemimizi geliştireceğiz. Böylelikle kaç kare var soruları ister 3x3lük, isterse 8x8lik olsun tek bir formül uygulayarak çözebileceğiz!

Hızlı Giriş:

Öncelikle formülü vermek istiyorum. Daha sonra örneklerle yöntemimizi pekiştiririz.

Şekilde 4x4lük bir kare vardır. Bu karenin herbir kenarında 4 tane küçük kare olduğuna dikkat edin. Bize gerekli olan sayı da en büyük düzgün karenin kenarlarını oluşturan bu küçük karelerin sayısıdır.

Yapacağımız iÅŸlem 1’den baÅŸlayıp bu sayıya kadar olan sayıların karelerini toplamak olacaktır.

Çıkan sonuç bize ÅŸekilde kaç kare olduÄŸunu verecektir.Örnekten devam edecek olursak bu sayı 4’dür.

Öyleyse,

[latex]1^2[/latex]+[latex]2^2[/latex]+[latex]3^2[/latex]+[latex]4^2[/latex]

bizi sonuca götürecektir. Bu işlemin sonucu:

1 + 4 + 9 + 16  = 30’dur.

Gördüğünüz gibi kareleri teker teker saymadan sonuca ulaştık. İnanmadıysanız siz saymaya başlayabilirsiniz. Daha sonra yazının devamını okuyarak daha kısa yöntemlerle her türlü kaç kare var soruna cevap bulabilirsiniz.

 

Bu işlemi matematikteki toplam sembolü olan Sigma  ile gösterebiliriz.

Şöyleki:

Buradaki “n” deÄŸeri bizim büyük karenin bir kenarını oluÅŸturan küçük karelerin sayısıdır. ÖrneÄŸimize göre 4’dür. “k” deÄŸeri ise “n” deÄŸerine kadar 1’den baÅŸlayıp birer artarak devam eden deÄŸiÅŸkenimizdir. ÖrneÄŸimize göre k deÄŸeri sırasıyla 1, 2, 3 ve 4 deÄŸerlerini alır.

Bu kısım biraz bilimsel gelebilir ama biraz daha sabrederseniz. Kısa bir formülle işi bağlayacağım 🙂

Her seferinde sayıların karelerini mi alacağız?

Diyelim ki bir satranç tahtasında kaç kare olduÄŸunu bulacağız. Satranç tahtası 8×8’lik bir karedir. Bu durumda formülümüzü uyguladığımızda 1’den 8’e kadar olan sayıların karelerini alıp toplamamız gerekmektedir. Teker teker kareleri saymaktan daha kolay bir yöntem olduÄŸu aÅŸikardır. Aynı zamanda formülün doÄŸru cevap garantisi vardır. Fakat daha kısa bir yöntem daha var.

Bu karelerin toplamı: ‘ya eÅŸittir.

Asıl formülün eşitliğini şöyle gösterebiliriz:

Sorumuza dönecek olursak; Satranç tahtası için “n” deÄŸerinin alacağı deÄŸer 8’dir. Bu durumda 8’i formülde yerine yazarsak

‘dır.   Buradan 8 x 9 x 17 / 6  = 204   sonucunu buluruz.

Sonuç

Artık karelerin büyüklükleri bizim için bir problem olmaktan çıkmıştır. Kaç kare var soruları bizim için basit çarpma ve bölme işlemleri ile sınırlı kalmaktadır.

Yazımızı bir soruyla bitirelim. Aşağıdaki şekilde kaç kare vardır? Bakalım kaç kişi hala saymaya devam ediyor? 🙂

NOT: Sorunun cevabını yukarıdaki formül ile rahatlıkla bulabilirsiniz. Doğru cevabı bir sonraki yazımda paylaşacağım. Esenlikle kalınız.